Library UniMath.CategoryTheory.Core.TwoCategories

2-categories

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Local Open Scope cat.


Definition two_cat_data
  : UU
  := ∑ (C : precategory_data)
       (cells_C : ∏ (x y : C), x --> y → x --> y → UU),
     (∏ (x y : C) (f : x --> y), cells_C _ _ f f)
     × (∏ (x y : C) (f g h : x --> y),
        cells_C _ _ f g → cells_C _ _ g h → cells_C _ _ f h)
     × (∏ (x y z : C)
          (f : x --> y)
          (g1 g2 : y --> z),
        cells_C _ _ g1 g2 → cells_C _ _ (f · g1) (f · g2))
     × (∏ (x y z : C)
          (f1 f2 : x --> y)
          (g : y --> z),
        cells_C _ _ f1 f2 → cells_C _ _ (f1 · g) (f2 · g)).

Coercion precategory_from_two_cat_data (C : two_cat_data)
  : precategory_data
  := pr1 C.

Definition two_cat_cells
           (C : two_cat_data)
           {a b : C}
           (f g : C⟦a, b⟧)
  : UU
  := pr12 C a b f g.

Local Notation "f '==>' g" := (two_cat_cells _ f g) (at level 60).
Local Notation "f '<==' g" := (two_cat_cells _ g f) (at level 60, only parsing).

Data projections.

Definition id2 {C : two_cat_data} {a b : C} (f : C⟦a, b⟧) : f ==> f
  := pr122 C a b f.

Definition vcomp2 {C : two_cat_data} {a b : C} {f g h : C⟦a, b⟧}
  : f ==> g → g ==> h → f ==> h
  := λ x y, pr1 (pr222 C) _ _ _ _ _ x y.

Definition lwhisker {C : two_cat_data} {a b c : C} (f : C⟦a, b⟧) {g1 g2 : C⟦b, c⟧}
  : g1 ==> g2 → f · g1 ==> f · g2
  := λ x, pr12 (pr222 C) _ _ _ _ _ _ x.

Definition rwhisker {C : two_cat_data} {a b c : C} {f1 f2 : C⟦a, b⟧} (g : C⟦b, c⟧)
  : f1 ==> f2 → f1 · g ==> f2 · g
  := λ x, pr22 (pr222 C) _ _ _ _ _ _ x.

Local Notation "x • y" := (vcomp2 x y) (at level 60).
Local Notation "f ◃ x" := (lwhisker f x) (at level 60). Local Notation "y ▹ g" := (rwhisker g y) (at level 60).
Definition hcomp {C : two_cat_data} {a b c : C} {f1 f2 : C⟦a, b⟧} {g1 g2 : C⟦b, c⟧}
  : f1 ==> f2 -> g1 ==> g2 -> f1 · g1 ==> f2 · g2
  := λ x y, (x ▹ g1) • (f2 ◃ y).

Definition hcomp' {C : two_cat_data} {a b c : C} {f1 f2 : C⟦a, b⟧} {g1 g2 : C⟦b, c⟧}
  : f1 ==> f2 -> g1 ==> g2 -> f1 · g1 ==> f2 · g2
  := λ x y, (f1 ◃ y) • (x ▹ g2).

Local Notation "x ⋆ y" := (hcomp x y) (at level 50, left associativity).

Definition idto2mor
           {C : two_cat_data}
           {x y : C}
           {f g : x --> y}
           (p : f = g)
  : f ==> g.
Show proof.
  induction p.
  apply id2.

Laws


The numbers in the following laws refer to the list of axioms given in ncatlab (Section "Definition / Details") https://ncatlab.org/nlab/show/bicategorydetailedDefn version of October 7, 2015 10:35:36

Definition two_cat_category
  : UU
  := ∑ (C : two_cat_data), is_precategory C × has_homsets C.

Definition category_from_two_cat_data (C : two_cat_category)
  : category.
Show proof.
  use make_category.
  - use make_precategory.
    + apply (pr1 C).
    + exact (pr12 C).
  - exact (pr22 C).

Coercion category_from_two_cat_data : two_cat_category >-> category.

Definition two_cat_laws (C : two_cat_category)
  : UU
  :=
1a id2_left
       (∏ (a b : C) (f g : C⟦a, b⟧) (x : f ==> g), id2 f • x = x)
     ×
1b id2_right
       (∏ (a b : C) (f g : C⟦a, b⟧) (x : f ==> g), x • id2 g = x)
     ×
2 vassocr
       (∏ (a b : C) (f g h k : C⟦a, b⟧) (x : f ==> g) (y : g ==> h) (z : h ==> k),
        x • (y • z) = (x • y) • z)
     ×
3a lwhisker_id2
       (∏ (a b c : C) (f : C⟦a, b⟧) (g : C⟦b, c⟧), f ◃ id2 g = id2 _)
     ×
3b id2_rwhisker
       (∏ (a b c : C) (f : C⟦a, b⟧) (g : C⟦b, c⟧), id2 f ▹ g = id2 _)
     ×
4 lwhisker_vcomp
       (∏ (a b c : C) (f : C⟦a, b⟧) (g h i : C⟦b, c⟧) (x : g ==> h) (y : h ==> i),
        (f ◃ x) • (f ◃ y) = f ◃ (x • y))
     ×
5 rwhisker_vcomp
       (∏ (a b c : C) (f g h : C⟦a, b⟧) (i : C⟦b, c⟧) (x : f ==> g) (y : g ==> h),
        (x ▹ i) • (y ▹ i) = (x • y) ▹ i)
     ×
6 vcomp_whisker
       (∏ (a b c : C) (f g : C⟦a, b⟧) (h i : C⟦b, c⟧) (x : f ==> g) (y : h ==> i),
        (x ▹ h) • (g ◃ y) = (f ◃ y) • (x ▹ i))
     ×
7 naturality of left whiskering
       (∏ (a b : C) (f g : C⟦a, b⟧) (x : f ==> g),
        (identity a ◃ x) • idto2mor (id_left g) = idto2mor (id_left f) • x)
     ×
8 naturality of right whiskering
       (∏ (a b : C) (f g : C⟦a, b⟧) (x : f ==> g),
        (x ▹ identity b) • idto2mor (id_right g) = idto2mor (id_right f) • x)
     ×
9 left whisker of left whisker
       (∏ (a b c d : C) (f : C⟦a, b⟧) (g : C⟦b, c⟧) (h i : C⟦c, d⟧) (x : h ==> i),
        (f ◃ (g ◃ x)) • idto2mor (assoc f g i) = idto2mor (assoc f g h) • (f · g ◃ x))
     ×
10 right whisker of left whisker
       (∏ (a b c d : C) (f : C⟦a, b⟧) (g h : C⟦b, c⟧) (i : C⟦c, d⟧) (x : g ==> h),
        (f ◃ (x ▹ i) • idto2mor (assoc f h i) = idto2mor (assoc f g i) • ((f ◃ x) ▹ i)))
     ×
11 right whisker of right whisker
       (∏ (a b c d : C) (f g : C⟦a, b⟧) (h : C⟦b, c⟧) (i : C⟦c, d⟧) (x : f ==> g),
        idto2mor (assoc f h i) • (x ▹ h ▹ i) = (x ▹ h · i) • idto2mor (assoc g h i)).

Definition two_precat : UU := ∑ C : two_cat_category, two_cat_laws C.

Coercion two_cat_category_from_two_cat (C : two_precat) : two_cat_category := pr1 C.
Coercion two_cat_laws_from_two_cat (C : two_precat) : two_cat_laws C := pr2 C.

Laws projections.

Section two_cat_law_projections.

Context {C : two_precat}.

1a id2_left
Definition id2_left {a b : C} {f g : C⟦a, b⟧} (x : f ==> g)
  : id2 f • x = x
  := pr1 (pr2 C) _ _ _ _ x.

1b id2_right
Definition id2_right {a b : C} {f g : C⟦a, b⟧} (x : f ==> g)
  : x • id2 g = x
  := pr1 (pr2 (pr2 C)) _ _ _ _ x.

2 vassocr
Definition vassocr {a b : C} {f g h k : C⟦a, b⟧}
           (x : f ==> g) (y : g ==> h) (z : h ==> k)
  : x • (y • z) = (x • y) • z
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 C))) _ _ _ _ _ _ x y z.

3a lwhisker_id2
Definition lwhisker_id2 {a b c : C} (f : C⟦a, b⟧) (g : C⟦b, c⟧)
  : f ◃ id2 g = id2 _
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C)))) _ _ _ f g.

3b id2_rwhisker
Definition id2_rwhisker {a b c : C} (f : C⟦a, b⟧) (g : C⟦b, c⟧)
  : id2 f ▹ g = id2 _
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C))))) _ _ _ f g.

4 lwhisker_vcomp
Definition lwhisker_vcomp {a b c : C} (f : C⟦a, b⟧) {g h i : C⟦b, c⟧}
           (x : g ==> h) (y : h ==> i)
  : (f ◃ x) • (f ◃ y) = f ◃ (x • y)
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C)))))) _ _ _ f _ _ _ x y.

5 rwhisker_vcomp
Definition rwhisker_vcomp {a b c : C} {f g h : C⟦a, b⟧}
           (i : C⟦b, c⟧) (x : f ==> g) (y : g ==> h)
  : (x ▹ i) • (y ▹ i) = (x • y) ▹ i
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C))))))) _ _ _ _ _ _ i x y.

6 vcomp_whisker
Definition vcomp_whisker {a b c : C} {f g : C⟦a, b⟧} {h i : C⟦b, c⟧}
           (x : f ==> g) (y : h ==> i)
  : (x ▹ h) • (g ◃ y) = (f ◃ y) • (x ▹ i)
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C)))))))) _ _ _ _ _ _ i x y.

7 vcomp_lunitor
Definition vcomp_lunitor {a b : C} {f g : C⟦a, b⟧} (x : f ==> g)
  : (identity a ◃ x) • idto2mor (id_left g) = idto2mor (id_left f) • x
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C))))))))) _ _ _ _ x.

8 vcomp_runitor
Definition vcomp_runitor {a b : C} {f g : C⟦a, b⟧} (x : f ==> g)
  : (x ▹ identity b) • idto2mor (id_right g) = idto2mor (id_right f) • x
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C)))))))))) _ _ _ _ x.

9 lwhisker_lwhisker
Definition lwhisker_lwhisker {a b c d : C} (f : C⟦a, b⟧) (g : C⟦b, c⟧) {h i : C⟦c, d⟧} (x : h ==> i)
  : (f ◃ (g ◃ x)) • idto2mor (assoc f g i) = idto2mor (assoc f g h) • (f · g ◃ x)
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C))))))))))) _ _ _ _ _ _ _ _ x.

10 rwhisker_lwhisker
Definition rwhisker_lwhisker {a b c d : C} (f : C⟦a, b⟧) {g h : C⟦b, c⟧} (i : C⟦c, d⟧) (x : g ==> h)
  : (f ◃ (x ▹ i) • idto2mor (assoc f h i) = idto2mor (assoc f g i) • ((f ◃ x) ▹ i))
  := pr1 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C)))))))))))) _ _ _ _ _ _ _ _ x.

11 rwhisker_rwhisker
Definition rwhisker_rwhisker {a b c d : C} {f g : C⟦a, b⟧} (h : C⟦b, c⟧) (i : C⟦c, d⟧) (x : f ==> g)
  : idto2mor (assoc f h i) • (x ▹ h ▹ i) = (x ▹ h · i) • idto2mor (assoc g h i)
  := pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 (pr2 C)))))))))))) _ _ _ _ _ _ _ _ x.
End two_cat_law_projections.

Bicategories


Definition isaset_cells (C : two_precat) : UU
  := ∏ (a b : C) (f g : a --> b), isaset (f ==> g).

Definition two_cat : UU
  := ∑ C : two_precat, isaset_cells C.

Coercion two_cat_to_two_precat
         (C : two_cat)
  : two_precat
  := pr1 C.

Definition isaprop_two_cat_laws
           (C : two_cat)
  : isaprop (two_cat_laws C).
Show proof.
  unfold two_cat_laws.
  repeat (apply isapropdirprod)
  ; repeat (use impred ; intro)
  ; apply C.

Laws for id to 2 mor


Section IdTo2MorLaws.
  Context {C : two_precat}.

  Definition idto2mor_comp
             {x y : C}
             {f g h : x --> y}
             (p : f = g)
             (q : g = h)
    : idto2mor p • idto2mor q = idto2mor (p @ q).
  Show proof.
    induction p, q ; cbn.
    apply id2_left.

  Definition idto2mor_lwhisker
             {x y z : C}
             (f : x --> y)
             {g h : y --> z}
             (p : g = h)
    : f ◃ idto2mor p
      =
      idto2mor (maponpaths (λ q, f · q) p).
  Show proof.
    induction p ; cbn.
    apply lwhisker_id2.

  Definition idto2mor_rwhisker
             {x y z : C}
             {f g : x --> y}
             (h : y --> z)
             (p : f = g)
    : idto2mor p ▹ h
      =
      idto2mor (maponpaths (λ q, q · h) p).
  Show proof.
    induction p ; cbn.
    apply id2_rwhisker.
End IdTo2MorLaws.